定積分與不定積分定理總結
定積分與不定積分定理總結
不定積分
1、原函數存在定理
●定理如果函數f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，那么在區(qū)間I上存在可導函數F(x)，使對任一x∈I都有F’(x)=f(x);簡單的說連續(xù)函數一定有原函數。
●分部積分法
如果被積函數是冪函數和正余弦或冪函數和指數函數的乘積，就可以考慮用分部積分法，并設冪函數和指數函數為u，這樣用一次分部積分法就可以使冪函數的冪降低一次。如果被積函數是冪函數和對數函數或冪函數和反三角函數的乘積，就可設對數和反三角函數為u。
2、對于初等函數來說，在其定義區(qū)間上，它的原函數一定存在，但原函數不一定都是初等函數。
定積分
1、定積分解決的典型問題
(1)曲邊梯形的面積(2)變速直線運動的路程
2、函數可積的充分條件
●定理設f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，即連續(xù)=>可積。
●定理設f(x)在區(qū)間[a,b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積。
3、定積分的若干重要性質
●性質如果在區(qū)間[a,b]上f(x)≥0則∫abf(x)dx≥0。
●推論如果在區(qū)間[a,b]上f(x)≤g(x)則∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。
●推論|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。
●性質設M及m分別是函數f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值，則m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a),該性質說明由被積函數在積分區(qū)間上的最大值及最小值可以估計積分值的大致范圍。
●性質(定積分中值定理)如果函數f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a,b]上至少存在一個點，使下式成立：∫abf(x)dx=f()(b-a)。
4、關于廣義積分
設函數f(x)在區(qū)間[a,b]上除點c(a
定積分的應用
1、求平面圖形的面積(曲線圍成的面積)
●直角坐標系下(含參數與不含參數)
●極坐標系下(r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面積公式S=R2θ/2)
●旋轉體體積(由連續(xù)曲線、直線及坐標軸所圍成的面積繞坐標軸旋轉而成)(且體積V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲線的方程)
●平行截面面積為已知的立體體積(V=∫abA(x)dx,其中A(x)為截面面積)
●功、水壓力、引力
●函數的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)
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