《最大值和最小值問題》教案設計

《最大值和最小值問題》教案設計

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　　一、復習引入：

　　1.極大值： 一般地，設函數(shù)f(x)在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f(x)＜f(x0)，就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值，記作y極大值=f(x0)，x0是極大值點

　　2.極小值：一般地，設函數(shù)f(x)在x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f(x)＞f(x0).就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極小值，記作y極小值=f(x0)，x0是極小值點

　　3.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值注意以下幾點：

　　（?）極值是一個局部概念由定義，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小

　　（?）函數(shù)的極值不是唯一的即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個

　　（?）極大值與極小值之間無確定的大小關系即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值，如下圖所示， 是極大值點， 是極小值點，而 >

　　（?）函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點

　　而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點

　　二、講解新課：

　　1.函數(shù)的最大值和最小值

　　觀察圖中一個定義在閉區(qū)間 上的函數(shù) 的圖象．圖中 與 是極小值， 是極大值．函數(shù) 在 上的最大值是 ，最小值是 ．

　　一般地，在閉區(qū)間 上連續(xù)的函數(shù) 在 上必有最大值與最小值．

　　說明：⑴在開區(qū)間 內(nèi)連續(xù)的函數(shù) 不一定有最大值與最小值．如函數(shù) 在 內(nèi)連續(xù)，但沒有最大值與最小值；

　　⑵函數(shù)的最值是比較整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點附近函數(shù)值得出的．

　　⑶函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù)，是 在閉區(qū)間 上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件．

　　(4)函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個，也可能沒有一個

　　⒉利用導數(shù)求函數(shù)的最值步驟:

　　由上面函數(shù) 的圖象可以看出，只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點的函數(shù)值進行比較，就可以得出函數(shù)的最值了．

　　設函數(shù) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導，則求 在 上的最大值與最小值的步驟如下：⑴求 在 內(nèi)的極值；

　　⑵將 的各極值與 、 比較得出函數(shù) 在 上的最值

　　三、講解范例：

　　例1求函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值與最小值

　　例2已知x,y為正實數(shù)，且滿足 ，求 的取值范圍

　　例3.設 ,函數(shù) 的最大值為1,最小值為 ,求常數(shù)a,b

　　例4已知 , ∈(0,+∞).是否存在實數(shù) ,使 同時滿足下列兩個條件：（1） )在（0，1）上是減函數(shù)，在［1，+∞)上是增函數(shù)；（2） 的最小值是1，若存在，求出 ，若不存在，說明理由.

　　四、課堂練習：

　　1．下列說法正確的是( )

　　A.函數(shù)的極大值就是函數(shù)的最大值 B.函數(shù)的極小值就是函數(shù)的最小值

　　C.函數(shù)的最值一定是極值 D.在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最值

　　2.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,則f′(x) ( )

　　A.等于0B.大于0 C.小于0D.以上都有可能

　　3.函數(shù)y= ，在［－1，1］上的最小值為( )

　　A.0B.－2 C.－1D.

　　4.函數(shù)y= 的最大值為( )。A. B.1 C. D.

　　5.設y=x3,那么y在區(qū)間［－3，－1］上的最小值是( )

　　A.27B.－3 C.－1D.1

　　6.設f(x)=ax3－6ax2+b在區(qū)間［－1，2］上的最大值為3，最小值為－29，且a>b,則( )

　　A.a=2,b=29B.a=2,b=3 C.a=3,b=2 D.a=－2,b=－3

　　五、小結(jié) ：

　　⑴函數(shù)在閉區(qū)間上的最值點必在下列各種點之中：導數(shù)等于零的點，導數(shù)不存在的點，區(qū)間端點；

　　⑵函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù)，是 在閉區(qū)間 上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件；

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