分式方程教案

時間：2024-10-21 01:10:37

分式方程精品教案

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分式方程精品教案

　　【知識拓展】

　　分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．解分式方程組的基本思想是：化為整式方程．通常有兩種做法：一是去分母；二是換元．

　　解分式方程一定要驗根．

　　解分式方程組時整體代換的思想體現(xiàn)得很充分．常見的思路有：取倒數(shù)法方程迭加法，換元法等．

　　列分式方程解應用題，關鍵是找到相等關系列出方程．如果方程中含有字母表示的已知數(shù)，需根據(jù)題競變換條件，實現(xiàn)轉化．設未知數(shù)而不求解是常見的技巧之一．

　　例題求解

　　一、分式方程(組)的解法舉例

　　1．拆項重組解分式方程

　　【例1】解方程．

　　解析直接去分母太繁瑣，左右兩邊分別通分仍有很復雜的分子．考慮將每一項分拆：如，這樣可降低計算難度．經檢驗為原方程的解．

　　注本題中用到兩個技巧：一是將分式拆成整式加另一個分式；二是交換了項，避免通分后分子出現(xiàn)x．這樣大大降低了運算量．本講趣題引路中的問題也屬于這種思路．

　　2．用換元法解分式方程

　　【例2】解方程．

　　解析若考慮去分母，運算量過大；分拆也不行，但各分母都是二次三項式，試一試換元法．

　　解令x2+ 2x―8=y，原方程可化為

　　解這個關于y的分式方程得y=9x或y=－5x．

　　故當y=9x時，x2+2x―8=9x，解得x1=8，x2=―1．

　　當y=－5x時，x2+2x―8=－5x，解得x3=―8，x4=1．

　　經檢驗，上述四解均為原方程的解．

　　注當分式方程的結構較復雜且有相同或相近部分時，可通過換元將之簡化．

　　3．形如結構的分式方程的解法

　　形如的分式方程的解是：，．

　　【例3】解方程．

　　解析方程左邊兩項的乘積為1，可考慮化為上述類型的問題求解．

　　，均為原方程的解．

　　4．運用整體代換解分式方程組

　　【例4】解方程組．

　　解析若用常規(guī)思路設法消元，難度極大．注意到每一方程左邊分子均為單項式，為什么不試一試倒過來考慮呢?

　　解顯然x=y=z=0是該方程組的一組解．

　　若x、y、z均不為0，取倒數(shù)相加得x=y=z=

　　故原方程組的解為x=y=z=0和x=y=z= ．

　　二、含字母系數(shù)分式方程根的討論

　　【例5】解關于x的方程．

　　解析去分母化簡為含字母系數(shù)的一次方程，須分類討論．

　　討論：（1）當a2－1≠0時

　　①當a≠0時，原方程解為x= ；

　　②當a=0時，此時是增根．

　　(2) 當a2－1＝0時即a= ，此時方程的解為x≠ 的任意數(shù)；

　　綜上，當a≠±1且a≠0時，原方程解為x= ；當a=0時，原方程無解，；當a= 時，原方程的解為x≠ 的任意數(shù)．

　　三、列分式方程解應用題

　　【例6】某商場在一樓和二樓之間安裝了一自動扶梯，以均勻的速度向上行駛，一男孩和一女孩同時從自動扶梯上走到二樓(扶梯行駛，兩人也走梯)．如果兩人上梯的速度都是勻速的，每次只跨1級，且男孩每分鐘走動的級數(shù)是女孩的2倍．已知男孩走了27級到達扶梯頂部，而女孩走了18級到達頂部．

　　（1）扶梯露在外面的部分有多少級?

　　(2)現(xiàn)扶梯近旁有一從二樓下到一樓的樓梯道，臺階的級數(shù)與自動扶梯的級數(shù)相等，兩個孩子各自到扶梯頂部后按原速度再下樓梯，到樓梯底部再乘自動扶梯上樓(不考慮扶梯與樓梯間的距離)．求男孩第一次迫上女孩時走了多少級臺階?

　　解析題中有兩個等量關系，男孩走27級的時間等于扶梯走了S－27級的時間；女孩走18級的時間等于扶梯走S―18級的時間．

　　解 (1)設女孩上梯速度為x級／分，自動扶梯的速度為y級／分，扶梯露在外面的部分有S級，則男孩上梯的速度為2x級／分，且有

　　解得 S=54．

　　所以扶梯露在外面的部分有54級．

　　(2)設男孩第一次追上女孩時走過自動扶梯rn遍，走過樓梯n遍，則女孩走過自動扶梯(m―1)遍、走過樓梯(n―1)遍．

　　由于兩人所走的時間相等，所以有．

　　由(1)中可求得y=2x,代人上面方程化簡得6n+m=16．

　　無論男孩第一次追上女孩是在自動扶梯還是在下樓時，m、n中都一定有一個是正整數(shù)，且0≤m―n≤1．

　　試驗知只有 m=3，n= 符合要求．

　　所以男孩第一次追上女孩時走的級數(shù)為3×27+ ×54=198(級)．

　　注本題求解時設的未知數(shù)x、y，只設不求，這種方法在解復雜的應用題時常用來幫助分析數(shù)量關系，便于解題．

　　【例7】 (江蘇省初中數(shù)學競賽C卷)編號為1到25的25個彈珠被分放在兩個籃子A和B中．15號彈珠在籃子A中，把這個彈珠從籃子A移至籃子B中，這時籃子A中的彈珠號碼數(shù)的平均數(shù)等于原平均數(shù)加，籃子B中彈珠號碼數(shù)的平均數(shù)也等于原平均數(shù)加．問原來在籃子A中有多少個彈珠?

　　解析本題涉及A中原有彈珠，A、B中號碼數(shù)的平均數(shù)，故引入三個未知數(shù)．

　　解設原來籃子A中有彈珠x個，則籃子B中有彈珠(25－x)個．又記原來A中彈珠號碼數(shù)的平均數(shù)為a，B中彈珠號碼數(shù)的平均數(shù)為b．則由題意得

　　解得x=9，即原來籃子A中有9個彈珠．

　　學力訓練

　　（A級）

　　1．解分式方程．

　　2．若關于x的方程有增根x=1，求k的值．

　　3．解分式方程．

　　4．解方程組．

　　5．丙、丁三管齊開，15分鐘可注滿全池；甲、丁兩管齊開，20分鐘注滿全池．如果四管齊開，需要多少時間可以注滿全池？

　　（B級）

　　1．關于x的方程有唯一的解，字母已知數(shù)應具備的條件是( )